你们好，最近小未来发现有诸多的小伙伴们对于虚数i，虚数这个问题都颇为感兴趣的，今天小活为大家梳理了下，一起往下看看吧。

1、　一、什么是虚数？

2、　　首先，假设有一根数轴，上面有两个反向的点：+1和-1。

3、　　这根数轴的正向部分，可以绕原点旋转。显然，逆时针旋转 180 度，+1就会变成-1。

4、　　这相当于两次逆时针旋转 90 度。

5、　　因此，我们可以得到下面的关系式：

6、(+1) * (逆时针旋转 90 度) * (逆时针旋转 90 度) = (-1)

7、　　如果把 +1 消去，这个式子就变为：

8、(逆时针旋转 90 度)^2 = (-1)

9、　　将"逆时针旋转 90 度"记为 i ：

10、i^2 = (-1)

11、　　这个式子很眼熟，它就是虚数的定义公式。

12、　　所以，我们可以知道，虚数 i 就是逆时针旋转 90 度，i 不是一个数，而是一个旋转量。

13、　二、复数的定义

14、　　既然 i 表示旋转量，我们就可以用 i ，表示任何实数的旋转状态。

15、　　将实数轴看作横轴，虚数轴看作纵轴，就构成了一个二维平面。旋转到某一个角度的任何正实数，必然唯一对应这个平面中的某个点。

16、　　只要确定横坐标和纵坐标，比如( 1 ， i )，就可以确定某个实数的旋转量（45度）。

17、　　数学家用一种特殊的表示方法，表示这个二维坐标：用 + 号把横坐标和纵坐标连接起来。比如，把 ( 1 ， i ) 表示成 1 + i 。这种表示方法就叫做复数（complex number），其中 1 称为实数部，i 称为虚数部。

18、　　为什么要把二维坐标表示成这样呢，下一节告诉你原因。

19、　　三、虚数的作用：加法

20、　　虚数的引入，大大方便了涉及到旋转的计算。

21、　　比如，物理学需要计算"力的合成"。假定一个力是 3 + i ，另一个力是 1 + 3i ，请问它们的合成力是多少？

22、　　根据"平行四边形法则"，你马上得到，合成力就是 ( 3 + i ) + ( 1 + 3i ) = ( 4 + 4i )。

23、　　这就是虚数加法的物理意义。

24、四、虚数的作用：乘法

25、　　如果涉及到旋转角度的改变，处理起来更方便。

26、　　比如，一条船的航向是 3 + 4i 。

27、　　如果该船的航向，逆时针增加 45 度，请问新航向是多少？

28、　　45度的航向就是 1 + i 。计算新航向，只要把这两个航向 3 + 4i 与 1 + i 相乘就可以了（原因在下一节解释）：

29、( 3 + 4i ) * ( 1 + i ) = ( -1 + 7i )

30、　　所以，该船的新航向是 -1 + 7i 。

31、　　如果航向逆时针增加 90 度，就更简单了。因为 90 度的航向就是 i ，所以新航向等于：

32、( 3 + 4i ) * i = ( -4 + 3i )

33、　　这就是虚数乘法的物理意义：改变旋转角度。

34、五、虚数乘法的数学证明

35、　　为什么一个复数改变旋转角度，只要做乘法就可以了？

36、　　下面就是它的数学证明，实际上很简单。

37、　　任何复数 a + bi，都可以改写成旋转半径 r 与横轴夹角 θ 的形式。

38、　　假定现有两个复数 a + bi 和 c + di，可以将它们改写如下：

39、a + bi = r1 * ( cosα + isinα )

40、c + di = r2 * ( cosβ + isinβ )

41、　　这两个复数相乘，( a + bi )( c + di ) 就相当于

42、r1 * r2 * ( cosα + isinα ) * ( cosβ + isinβ )

43、　　展开后面的乘式，得到

44、cosα * cosβ - sinα * sinβ + i ( cosα * sinβ + sinα * cosβ )

45、　　根据三角函数公式，上面的式子就等于

46、cos (α+β) + isin (α+β)

47、　　所以，

48、( a + bi )( c + di )＝r1 * r2 * ( cos (α+β) + isin (α+β) )

49、　　这就证明了，两个复数相乘，就等于旋转半径相乘、旋转角度相加。

以上就是虚数这篇文章的一些介绍，希望对大家有所帮助。